第五十八章 说服（1 / 2）

“你说的是真的？”

庞绍安微微一愣，他是知道自己孙子的水平的，在同年龄段，庞学林称得上是佼佼者，就算拿到IMO的金牌，庞绍安都不会感觉多少意外。

可现在庞学林告诉自己，他不但已经将高中阶段的数学知识融会贯通，甚至连微积分、数学分析、抽象代数这类大学阶段的课程都自学了一部分，这就让他有些吃惊了。

平日里也没见他自学大学的内容啊，难道他私下里偷偷学的？

庞学林呵呵笑道：“爷爷，是真是假，你测试一下我不就知道了！”

“好，那我就和你打了这个赌，我们现在就去书房，我当场出题，你当场解答！”

庞学林自无不可，一旁的姚建中也饶有兴致地跟过来看起了热闹。

来到书房，庞绍安找来稿纸，很快在上面写下第一题：

设R是全体实数构成的集合，求所有的函数f:R→R，使得对任意实数x和y，都有

f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)。

这道题看似简略，而且也没超出高中数学的范畴，但题目本身对高中阶段的学生而言，却是非常有难度的，至少拿到IMO上当做考题，一点问题都没有。

庞学林接过考题，只是扫了一眼，然后想也没想，提笔就在稿纸下方空白部分刷刷刷地写起了答案。

解：将题中等式记为P（x，y），则由P（0，0）可知

f(f(0)^2）=0（1）

对任意实数x≠1，存在实数y，满足x+y=xy，则y=x/x-1，由P（x，x/x-1）可知，

f(f(x)f(x/x-1))=0，x≠1（2）

对f（0）可以分两种情况讨论。

……

庞绍安原以为，庞学林怎么也得思考个十几分钟，找到思路后，再花上十几分钟解题。

却没想到，对方只看了一眼题目，然后就直接解题了，前前后后都没用五分钟。

“爷爷，你看看，我这样解得对不对？”

庞学林自信满满地将答案递给了庞绍安。

菲奖大佬做IMO试题，甚至比大学生做小学试题都要来的轻松，看到题目的第一眼，庞学林就已经看透了出题者的意图。

如果真要说数学水平，他已经比庞绍安都要高出不止一筹。

庞绍安接过来看了一下，点头道：“不错，没想到你最近水平见涨啊，解题速度快多了。不过这只是高中竞赛的内容，你既然大学阶段的课程都已经自学过了，那我接下来的题目，就不限于高中知识了。”

庞学林笑嘻嘻道：“爷爷，你尽管出，答不上来算我输！”

“臭小子，什么时候这么狂了？！”

庞绍安嘴上虽然骂着，心里却高兴得很，如果庞学林真的有他自己说的这种水平，不就证明了自己教育的成功吗？

“你之前说自己学过线性代数，那第二题，就和矩阵相关。

很快，庞绍安又在稿纸上写下了第二题：

证明：任意n阶实方阵A可以分解为A=A0+A1+A2，其中A0=aIn，a是实数，A1、A2都是幂零方阵。

和第一题一样，庞学林同样没有思考多久，直接在稿纸上写下答案：

证明：我们先证明一个引理。

引理：设A是n阶实方阵且满足tr（A）=0，则存在可逆实方阵P，使得P^-1AP的对角元素都是0。

对n进行归纳，当n=1时，A=（0），结论显然成立，下面设n≥2，我们考虑两种情形。

情形一：Rn中的所有非零向量都是A的特征向量……

……