本文常用量级绝对无穷部分构造（补充）（2 / 2）

?可以看出，被称作冯诺依曼序数的集合，是在以∈关系模拟数字之间的＜关系，n+1就是简单的把n的元素和n一起放到一个集合里。这样一来自然数集就天然的成为了一个无限序数ω，ω+1也能很自然的得到——怎么得到？

?有了 0,1,2,3,……,ω 之后，V 中的东西都可以通过五种简单操作/构造得到

?零、外延公理：对任意x和y，x=y 的情况是指 x 和 y 互为子集，即 x 的元素都是 y 的元素，并且 y 的元素都是 x 的元素。也就是说，{1,1}={1}，表达了任何对象都是唯一的。

?一、对集公理：任取x和y，都会存在 {x,y}。这里需要注意的是，{x,y}={y,x}，这里x和y是没有先后次序，而我们想要x和y次序区别可以这样做，{x,{y}} 和 {{x},y} 就是两种集合。由对集公理，若所取的x,z相等，则可得{x,z}={x}，这样对于存在 {x}和y，就可以再由对集公理得到 {{x},y}，这样的集合也被称作有序对，记作 ＜x,y＞。而由有序对构成的集合就是 V 中的‘函数’，因为 f(x)=y 这件事可以用 ＜x,y＞ 表示，简单明了。其中 x 构成的集合被称为 f 的定义域，y 构成的集合被称作 f 的值域。

?二、并集公理：对任意x，都存在y，使得对于每个z∈x，z的元素都是y的元素，y就是由x的元素的元素构成的集合，记作∪x=y。初学者容易搞错的一点是，{1,2}包含了1，1又包含了0，但0并不是{1,2}的元素。比如 {?n：n∈ω}这个由阿列夫n构成的集合只含有ω个元素，只有通过并集公理，你才可以得到里面的阿列夫n含有的不可数个序数构成的集合。

?三、幂集公理：对任意x，都存在y，使得对任意z，若 z 的元素都是 x 的元素，则 z∈y。

?四、选择公理：对任意x，x≠{}并且{}?x 蕴含存在 f，使得对任意y∈x，都存在＜y,z＞，＜y,z＞∈f 并且 z∈y。它直观的表达出这样一件事：对任意x中的元素y，你都能将y中的一个元素挑出来，哪怕x是无穷集。

?而其更加直观的含义是：每个集合都有基数。在这个前提下下面一条就会变得通用

?五：对任意序数a，a个集合都能构成一个集合。属于是爆杀了对集公理。

?五代替不了幂集公理，因为得不到下一个无穷基数。也代替不了并集公理，在你刚得到 {?n：n∈ω} 的情况下，任意序数都会被一个足够大的阿列夫n大于，现存的所有序数都在阿列夫ω中，你要得到它就需要用阿列夫ω本身，并集公理却可以让你根据 {?n：n∈ω} 就能得到阿列夫ω。

?以 0,1,2,3,……,ω 为起点，V 中的所有集合都可以根据这4条原则揭示出来。

?集合论宇宙就是这么简单。

要得到 ω+1 ={0,1,2,3,……,ω}，并不能直接运用【五】说 ω+1 个元素即 0,1,2,3,……,ω 构成一个集合，此时 ω+1 还不存在。

而是利用对集公理，先得到 {ω}，再得到 {ω，{ω}}，然后用并集公理就是 ω+1 了。以此类推。

五：对任意序数a，a个集合都能构成一个集合。这里的a个集合严格的说是一个由集合构成的a长的序列。序列在集宇宙中就是一个以序数为定义域的双射函数，我们可以很自然的从中获取值域中的集合有被良好排序这一信息。

比如 f(0)=毛毛虫，f(1)=星星，f(2)=铅笔，f(3)=乞丐，…… f 就像是为这些乱七八糟的事物标上了序号一样，形成一种排序。我们也可以用这种方式重新定义有序对，甚至推广。

通常用 ＜S_b：b∈a＞ 表示一个 a 长的序列： S_0，S_1，……

关系在 V 中也是一个具体的集合。比如自然数集上的＜关系，就是 ω 上的一个二元关系，ω×ω 的一个子集。为什么这样说呢？

首先，此处的 ω×ω 不是序数运算，而是笛卡尔积，之所以这样叫是因为这个集合的元素都是形如 ＜n,m＞ 的有序对，其中n和m都是自然数，像极了笛卡尔坐标。X×Y 即 X 和 Y 的元素所有可能的两两(有序)配对。

ω×ω 的一个子集：

{ ＜0,1＞ ，＜0,2＞ ，＜0,3＞ ，……

＜1,2＞ ，＜1,3＞ ，＜1,4＞ ，……

＜2,3＞ ，＜2,4＞ ，＜2,5＞ ，……

……} 就表达了自然数之间的＜关系，因为 2＜5，所以 ＜2,5＞ 在其中。因为不存在 5＜2，所以＜5,2＞不在其中，就这么简单直观。

而＜关系还是 ω 上的一个良序关系，即可以将 ω 中的元素排成有起点的一列：0,1,2,3,……，而这个序列的长度是 ω ，则称 (ω,＜) 的序型是 ω 。表示 ω 依照 ＜ 形成的结构是一个长度为 ω 的序列。

自然，ω 上还存在其它良序关系，比如可以排成 1,2,3,……,0；长度为 ω+1，因为其中的0排在ω个元素之后。

亦或者将奇数放在前面，偶数放在后面，就形成了一个 ω+ω 长的序列。

如此，对 ω×ω 取幂集，就可以得到 ω 上的所有二元关系，因为选择公理 P(ω×ω) 有基数 a，就可以利用【五】得到 P(ω×ω) 的一个子集，即 ω 上所有良序关系，从而得到 (ω,E) 的集合，它们的序型都是可数序数。再用【五】来得到所有可数序数的集合，即最小的不可数序数——阿列夫1。

因为对任意整数 z，我们都可以取两个自然数 n,m，使得 n-m=z，比如负数 -2=7-9，我们就可以适当的定义一个 ω×ω 的一个子集 Z 和其上的关系，以至于能够模拟整数域。

而因为任意有理数都可以表示为两个整数之比，即 a/b，我们也可以适当的定义 Z×Z 的一个子集 Q 和其上的关系，以至于能够模拟有理数域。

引用戴德金分割，我们也可以适当的定义 P(Q)×P(Q) 的一个子集 R 和其上的关系，以至于能够模拟实数域。

而这之后的复数，因为可以简单的用 ＜a,b＞ 表示 a+bi ，我们就可以适当的定义 R×R 的一个子集和其上的关系，以至于能够模拟复数域。

主流数学的大厦就这样建成了。

P(ω) 会包含 ω 的所有子集，其中就包括了对任意 n 都有的{n}

P(P(ω)) 会包含 P(ω) 的所有子集，其中可以有 P(ω) 中元素 n,{m} 的集合，＜n,m＞

P(P(P(ω))) 会包含 P(P(ω)) 的所有子集，即那些 P(P(ω)) 中元素构成的集合，如 ＜n,m＞ 的集合，ω 上的二元关系，整数在此处显现。

以此类推，Q 就会在 ω 的 6 次取幂 P(P(P(P(P(P(ω)))))) 中存在。

而作为 P(Q) 的二元关系，实数域则会在 ω 的 10 次取幂中显现。

利用【五】得到 P(ω),P(P(ω)),P(P(P(ω))),…… 这样一个 ω 长的序列，再用并集公理得到的就是被称作【超结构】的囊括全体主流数学和物理宇宙的大全。

而这仅仅只是 V 显露的开始。

冯诺依曼宇宙可以说是一切宇宙的模板，它可以定义为一个层谱结构：

V_0 := {}

V_a+1 := P(V_a) ——V_a的幂集

由取幂依赖于前一个集合，所以对于极限序数a 并不能直接定义 V_a，比如 V_ω 不会是哪个集合的幂集，因为不存在 n+1=ω 。所以在极限序数处我们要修改定义

V_a := ∪{V_b：b∈a}，而这一并集也就直观上取了无限次幂集的内容。

最终 V := ∪{V_a：a∈绝对无限}

哥德尔宇宙与此类似

L_0 := {}

L_a+1 := D(L_a) ——L_a 在现阶段（在L_a+1构造出来之前，现有的大全就是L_a）使用参数可定义的子集的集合。因为公式只有可数个，而可引用的参数也只有 L_a 的基数个，所以并不会像 V_a+1 一样添加超越当前基数个的集合进来。但每一层构造都也因此是清晰明了的。

在极限序数的阶段同样

L_a := ∪{L_b：b∈a}，以及 L := ∪{L_a：a∈绝对无限}

PS:一个集合或真类 S 是可定义的意思是，存在一个公式 φ(x)，使得 φ(x) 成立的 a 即 φ(a) 为真的 a 构成的集合或真类=S。比如绝对无限的定义就是 “x 是序数”，使得该公式成立的集合构成的类正是所有序数的类。所以 a 会首次出现在 L_a+1 中，a 也是相对于 L_a 的绝对无限。

此外还有两种扩张版本

L(X) 就是将 L(X)_0 这个初始步骤改成集合 X 得到的。尽管 L(X)_0 之后的每层的结构都很清晰，但如果 X 本身就不清晰的话，那后续其实也是不完全清晰的。

而使用更多的

L[X] 则是修改 D(L_a) 这一步，D_X(L_a) 就是将 X∩L_a（X 和 L_a 的交集作为参数） 加入公式后可定义的子集的集合。

集合作为参数的效果往往相当于加了一个 “x 是……” 的“词汇”，比如 n∈ω 就表达了“n是自然数”这件事。在 X 是无法定义的情况下，以 X 为参数就是很有价值的。而取交集就导致了 L[X] 比 L(X) 更清晰，因为 X∩L_a 中的元素都还是 L_a 的元素。

至于终极L没了解过不懂。不只是现在没有定义式，而是现有的尝试方法是咋样的都不清楚。

关于为什么 V 是不清晰的

L_a 的构造是完全符合我们理解中的凭现有的集合来构造新的集合，如此积累，直至绝对无限，成型。每一步尽在把握。

但 V 的构造中，取幂集这一步，就是直接取了所有子集，包括了未来我们会认知构造的子集，也就是说宇宙已经成型了，然后取其中的 X 的所有子集来构成集合，这就存在一种跳跃。哪怕 V 中混杂了什么不在 L 中的集合，就像 L(X) 那样，我们也是不知道的，无法证明无法证伪。

尽管上述公理以 0,1,2,3,……,ω 为起点构造出来的集合都在 L 中——0,1,2,3,……,ω∈L并且上述公理也在L中成立

但显然也有 0,1,2,3,……,ω∈L(X) 并且上述公理也在 L(X) 中成立

若取 X?L，并假设会导致 L 满足命题 “对于所有x，都有……” ，而 L(X) 却因为 X 是该命题的反例（类似于塞了一只白乌鸦到世界里去，成为了天下乌鸦一般黑的反例），导致“对于所有x，都有……” 在 L(X) 中为假

在这种情况下，若上述公理可以证明或证伪这个命题，就都会在另一个宇宙中产生矛盾。所以如果一致，就不能证明或证伪这个命题。

【脱殊复宇宙】

脱殊扩张：是说包含 V ﹣可定义的偏序集 P ．然后 P 上面有一个滤子称之为脱殊滤子 G ．这个脱殊滤子对于 V 而言就有一种 ranscendence 的感觉（即脱殊）接着然后通过把 G 加到 V 中来产生一个新的结构：( V 的）脱殊扩张 V [ G ]．作为一个 ZFC 的模型。那么脱殊复宇宙就是：拥有在所有的力迫扩张（和一些 ground models )下 closure 形式的宇宙 V ．这是 woodin 的成果之一。它确保了广义连续统的成立。

脱殊复宇宙假设：脱殊复宇宙假设认为我们所处的宇宙只是个例子，存在着许多类似于我们宇宙的其他宇宙，每个宇宙都有其自己独特的物理规律和初始条件。这些不同的宇宙被称为平行宇宙

脱殊复宇宙与复宇宙：在 Hamkins 关于复宇宙的描述出现之前， Woodin等人就提出过脱殊复宇宙（ generic multi verse ）的概念（参见［12]、[14］等）. Hamki ns 的复宇宙概念与脱殊复宇宙概念有较密切的联系但不尽相同．脱殊复宇宙是由一些宇宙生成的在力迫扩张关系的对称闭包关系下封闭的集合论宇宙的聚合．例如，假设 M 是一个可数传递的 ZFC 模型。任给可数传递 ZFC 模型M1,M2，我们定义M1~ Mz 当且仅当M2是 M ；的力迫扩张或 M ；是M2的力迫扩张，则 Va =[ M ］是由 M 生成的脱殊复宇宙．定理（ Laver

9-Woodin-Reitz10])如果V是W的力迫扩张(即W是V的基模型)，那么W是V的内模型.并且存在V的所有基模型的统一的定义.即，存在集合论公式p(r，3)使得，如果V=WG是由W中的偏序P上的脱殊滤GCP生成的脱殊扩张，那么存在rW使W=fx|(ra)3.根据上述定理，容易看出Hamkins的复宇宙概念由于满足可实现公理和力迫扩张公理因而也是脱殊复宇宙.显然，脱殊复宇宙的强调的封闭性弱于复宇宙，这是因为，Hamkins通过复宇宙概念希望表达的是他关于集合论宇宙二阶存在的多宇宙观，而我认为脱殊复宇宙在Woodin等人着作中被提出是实在论者在执行哥德尔计划过程中向形式主义的妥协

脱殊复宇宙

定义1.

令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊多宇宙VM为满足以下条件的最小模型类:

1.M∈VM;

2.如果N∈VM，而N=N[G]是N的脱殊扩张，则N∈VM;

3.如果N∈VM，而N=N[G]是N的脱殊扩张，则N∈VM。

简单说，VM是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。由V生成的脱殊多宇宙记作V。

定义2.2 (脱殊多宇宙的真)对任意ZFC的可数传递模型M，和对任意集合论语言中的语句σ，我们称.σ是M-脱殊多宇宙真的，当且仅当它在VM的每个模型中都真，记作VM=σ;

σ是M-脱殊多宇宙假的当且仅当VMF7σ;

.σ是M-脱殊多宇宙无意义的当且仅当VMFσ并且VMF7σ。

特别地，如果σ在由V生成的脱殊多宇宙中为真，则称σ是脱殊多宇宙真的，记作V=σ。，

脱殊扩张:力迫法

统假设的否定的一一致性，即

(222)

ZFC-Com(ZFC)→Com(ZFC+-CH).

与哥德尔对已有zFC模型M进行限制从而得到满足特定命题的子模型L“的构造方式不同，力迫法所构造的模型M[GI是包含给定模型M为其子模型的更大的模型。

假设ZFC一致，那么由哥德尔的逻辑完全性定理”。就存在一个zFC的集合模型。再由定理2.35.及Motowsh坍塌，可以得到一个ZFe的可数传递模型，我们一般把可数传递模型作为力追法的原模型(grond moder).，

元素称作条件(onditon).对ng∈p，若μ≤q(w≤η或ρ∞小.我们称条件p比η强;若p⊥小.即不存在r∈P满足r≤ρ且r≤小.则称条件ρ与q不相容或不能同真。

定义2.2.0假设P是偏序我们称DSP是网密的(demwe).当且仅当对任意ρ∈P，存在η∈D满足η≤p

给定pEP.我们说DSP在p之下铜密。当且仅当DNPIp是PIr的稠密F集，其中PIp={q∈P|qs小.

定义2.2.7假设P是偏序，我们称FCP是偏序P上的滤，当且仅当 PP.

(2)若p∈F且p<y.>

定义2.2.8假设P是模型M中的偏序，G是偏序P上的滤.我们称P上

我们一般要求力迫法的原模型 M是可数的，是因为这样的话，对任意M中的保序P只有可数个M中的P上的网密果。假文(D1<n>

当且仅当 PP.

(2)若p∈F且p＜y.则η∈F.

定义2.2.8假设P是模型M中的偏序，G是偏序P上的滤.我们称P上

我们一般要求力迫法的原模型 M是可数的，是因为这样的话，对任意M中的保序P只有可数个M中的P上的网密果。假文(D1＜N是M中所有所有D.都是稠密的，所以p总能够取到。令G={v∈P|3i＜n(ws小}.容易证明，G是滤，并且是M.脱殊滤。因此，可数模型中的任意偏序上:总存在脱严格来说，我们对于用来力迫的条件集，印偏序P没有任何额外要求。但在力迫法的实际运用中，偏序集P椰满足如下性质，

(22)

对任意p∈P，存在qsp.rSμ满足q⊥r.

定理2.2.9 P∈M1是偏序。P满足(223).当且仪当任意P上脱殊

因此，对于不满足(22.3)的偏序，存在其上脱殊滤G∈M.又根据定理2.16.由此生成的脱殊模型MI(C]= M，将没有意义。我们称之为平凡力迫。他的世界，而这种在M中的人们看来可能的世界。在M“之外”的人们看来却是一个现实的集合模型MI(G].我们定义M中人们用来指称MI(C)中对象的专名(但名)的集合M“:

定义2.2.10 r是P名，当且仅当+是关系，且对任意(.D)∈T，π是只名且ρ∈P.

注意，上述定义应理解为递归定义。而并非循环定义。

定义22.11τ是P名， G:是脱殊滤.?

={t°1(Br∈(，1E小

定义脱殊扩张

MIG(={r°IreMr).

注意，r的定义也是递归的。

我们还可以用递归方式来定义基础模型中集合的典范名。

定义2.2.12对任意工。定义*=(0.川|vex，p∈P}.

显然，对任意到，主是P名。通过归纳，容易证明，g=x因此M≤我们定义脱殊滤的典范名:

</n>

</y.>

定义2.2.18 G=(.川)1pe则)

注意， C其实不依赖于具体的脱殊滤G且C∈M. G是M中的人们用来指称G的名字，但生活在M中的人并不知道G到底是什么，事实上，的解杯(定2.1)，包括G自身:

WWw. cr-Geion.因而，在非平凡的情况下，我们期望NS M(q).

最后，我们定义力迫语言的语义。即条件与力迫讯言公式之间的力迫关系.

定义22川)μ4η≤加当且仅当对任意(m，nen.集p啡η一η当且仅当ρlηSηHplηζη.

l在》之下稠密当集合{0≤p 30.n)∈n60≤rλ9θπ=(2)pHρ入ψ.当且仅当pHp且pe.

(3)plHψ.当且仅当对任意ηSp井非q14.

pFarp，当且仅当集合{veP|3(r是P名(4)在ρ之下

上建定文中，中的(n).是基于办刀所属阶层的遭归定义.该部分，即条件与原子公式的力迫条件与原子公式的力迫关系。在M下是绝对的。而整个定义。即-(v)，.应被视为基于公式复尔度的通的定义。注意(于和中的无外量调物，所以一力迫关系可理解为 MN中的人“所掌握的关于M(C]的一般知识的体系。即如果p力迫φ.那么无论MI(G]到底是什么(无论取什么G)，若条件p真(w∈G)，则ρ也真(sM.这正是下述定理所表达的

定理2.2.15 M是ZFC的可数传递模型，P是N中偏序，G是P上(相对于M)的脱殊滤。则存在M的脱殊扩张M|GI，给定公式.......(所有自由变元已列出)和....则

.....当且仪当和e G(n4......由此，可以进-步得到脱殊扩张基本定理。

定理2.2.16 (脱殊扩张基本定理) M是ZFC的可数传通模型，P是M中偏序，G题P上(相对于M)的脱殊滤。则存在M的脱殊扩张MICI，满足:(1) MIG]见ZFC的传通模型。

(2) MS MI(G] lGe M(]:

(3) M[G]是满足(1).(2)的最小极型。

品然，脱殊扩张sM(q可以被看作是s1加上一个脱殊迪a生成的集合论运算下的闭包，利用脱殊扩张基本定理，我们可以通过设计M中的偏序P来逐步迫近那个无法在M中存在的脱殊池G.使得生成的G见证了M(G]满足我们所希望的性质。

脱殊复公式为： T =(2G/c^2)*(M/R)其中，T表示脱殊时间，G表示引力常数，c表示光速，M表示宇宙质量，R表示宇宙半径。